Задача о ракетопоезде

Переход:...Назад

ЗАДАЧА О РАКЕТОПОЕЗДЕ и ЯКОБИАНЕ

В нештрихованной инерциальной системе отсчета (ИСО) прямолинейный путь Н-А-В (рисунок ниже) разбит на отрезки одинаковой длины, каждый из которых есть Ед (единица длины нештрихованной ИСО). В конце каждого участка установлен столб - восклицательный знак на рисунке.

Н__!__!__... !__!__!__!__!__А__!__!__!__!__!__!__!__! ... ...!__!__!__!__!__!__!__В

Расстояние АВ равно 48 Ед (48 единиц длины). Скорость света равна 10 Ед/Ев (10 единиц длины за одну единицу времени). В ракете (штрихованная ИСО) сидит космонавт со стартстопным хронометром, который он может запускать (с нулевого показания, как секундомер) и останавливать.

Ракета разгоняется на участке НА до постоянной скорости V = 8 Ед/Eв [восемь расстояний между столбами (восклицательными знаками на рисунке) в нештрихованной ИСО за одну единицу времени ракетопоезда], что проверяется на участке НА (по количеству подсчитываемых космонавтом столбов, пролетающих мимо ракеты за единицу времени стартстопного хронометра - на i-том столбе космонавт запускает его, а на i+8 столбе он останавливает его и убеждается, что на стартстопном хронометре прошла единица времени Ев пока мимо него пролетело 8 межстолбовых расстояний). Никаких других измерений не производится. С этой постоянной скоростью ракета пролетает весь путь АВ.

При пролете мимо станции А космонавт запускает свой старт-стопный хронометр и останавливает его при пролете мимо станции В. В пути между станциями он подсчитывает количество пролетающих мимо него столбов - оно оказывается равным 48.

Кроме того, в тот момент времени, когда на стартстопном хронометре заканчивается очередная единица времени с ракеты выстреливается вымпел с указанным на нем временем выстрела. Вымпел попадает в столб и останавливает имеющиеся на столбе часы. Часы на столбах синхронизированы с часами на станциях А и В. Таким образом, в 8-ой столб попадает вымпел с числом 1, в 16 столб – с числом 2, в 24-ый столб – с числом 3, в 48-ой столб на станции В – с числом 6. Наблюдатель в нештрихованной ИСО облетает по очереди все столбы с вымпелами и снимает показания остановленных каждым вымпелом часов на столбе и сравнивает их с числом, записанным на вымпеле соответствующего столба.

Вопросы.

1. Каковы будут показания покоящегося на ракете старт-стопного хронометра, запущенного в момент пролета ракеты мимо станции А и остановленного в момент пролета ракеты мимо станции В?

2. Какова скорость движения ракеты?

3. Каково показание хронометра, покоящегося на станции В, в момент пролета космонавта мимо него, если хронометры на станциях А и В синхронизированы и показывают нулевое время в момент пролета космонавта мимо станции А?

4. Каковы будут результаты сравнения показаний остановленных вымпелами хронометров на столбах с числами, имеющимися на вымпелах?

5. Как быть с утверждением Homo sapiens, который утверждает (см. http://www.acmephysics.narod.ru/b_r/r14.htm ), что преобразования НТО “есть по сути произведение (суперпозиция) преобразований Лоренца и изменения масштаба вдоль оси t” и что якобиан преобразований координат НТО равен не единице а G = (1+u²/c²)^1/2?

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ В НТО

Вопрос 1. Каковы будут показания покоящегося на ракете старт-стопного хронометра, запущенного в момент пролета ракеты мимо станции А и остановленного в момент пролета ракеты мимо станции В?

Решение. По условию задачи расстояние между станциями А и В равно 48 межстолбовых расстояний, а ракета по условию задачи за одну единицу времени (1 Ев) преодолевает 8 межстолбовых расстояний.
Поэтому 48 [Ед] / 8 [Ед/Ев] = 6 [Ев].

Ответ. Старт-стопный хронометр, запущенный космонавтом в момент пролета космонавта мимо станции А и остановленный космонавтом в момент пролета космонавта мимо станции В будет показывать 6 единиц времени (6 Ев).

Вопрос 2. Какова скорость движения ракеты?

Решение. Показание стартстопного хронометра, находящегося в точке x'=0 на покоящейся ракете, совпадает с показанием хронометра на каждом очередном столбе в момент пролета каждого очередного столба мимо ракетного хронометра. Действительно, подставляем x' = 0 в уравнение Сu*t = g*[Co*t' + b*x'], где Сu = Co*g, g = (1 - b^2)^-1/2 = (1 + u^2/Co^2)^1/2, b=u/Cu, справедливое для покоящейся ракеты и движущихся станций. Получим t = t'.

Примечание. Подстановка x' = 0 в уравнение Сo*t = g*[Cu*t' + b*x'], справедливое для движущейся ракеты и покоящихся станций, приводит к лишенному физического смысла выражению t = g^2*t' и поэтому недопустима.

Поэтому в тот момент времени, когда старт-стопный хронометр на ракете показывает 1 Ев (а в этот момент времени он по условию задачи совпадает с 8-ым столбом), хронометр на 8-ом столбе согласно НТО тоже имеет показание, равное 1 Ев. Стало быть, с точки зрения наблюдателя, неподвижного относительно станций А и В, ракета движется со скоростью, равной u = 8 Ед/Ев. Ибо по условию задачи расстояние между столбами в системе отсчета, в которой станции А и В покоятся, равно одной единице длины (1 Ед).

Ответ. Скорость движения ракеты относительно станций равна 8 Ед/Ев. А так как по условию задачи скорость света равна 10 Ед/Ев, то скорость ракеты, отнесенная к скорости света, равна u/Co = 0,8.

Вопрос 3. Каково показание хронометра, покоящегося на станции В, в момент пролета космонавта мимо него, если хронометры на станциях А и В синхронизированы и показывают нулевое время в момент пролета космонавта мимо станции А?

Решение. Поскольку ракета движется со скоростью u = 8 Ед/Ев, расстояние между станциями А и В равно 48 Ед, а ракета пролетела мимо станции А в нулевой момент времени, то хронометр на станции В в момент пролета мимо станции В космонавта будет иметь показание, равное (48 Ед)/(8 Ед/Ев)=6 Ев.

Ответ. В момент пролета мимо станции В космонавта хронометр на станции В будет иметь показание, совпадающее с показанием хронометра на ракете (см. вопрос 1) и равное 6 Ев

Вопрос 4. Каковы будут результаты сравнения показаний остановленных вымпелами хронометров на столбах с числами, имеющимися на вымпелах?

Ответ. Согласно НТО показание стартстопного хронометра на ракете совпадает с показанием каждого очередного хронометра на столбе в момент пролета ракетного хронометра мимо каждого очередного столба. Поэтому показания остановленных вымпелами хронометров на столбах будут совпадать с числами, имеющимися на вымпелах

Вопрос 5. Как быть с утверждением Homo sapiens, который утверждает (см. http://www.acmephysics.narod.ru/b_r/r14.htm ), что преобразования НТО “есть по сути произведение (суперпозиция) преобразований Лоренца и изменения масштаба вдоль оси t” и что якобиан преобразований координат НТО равен не единице а G = (1+u²/c²)^1/2?

Ответ. Для преобразований НТО

Co*t' = G*(Cu*t - b*x),
x' = G*( - b*Cu*t + x),
y' = y,
z' = z

якобиан равен единице (как и в СТО) потому, что в НТО следует брать частную производную ¶/¶(Cu*t), а не ¶/¶(Cо*t). Это обусловлено тем, что за промежуток времени ¶t свет в НТО проходит расстояние (Сu*¶t), а не (Со*¶t). Те, кто утверждает, что для определения якобиана в НТО нужно брать частную производную ¶/¶(Cо*t), а не ¶/¶(Cu*t), просто думать не желают – думать им мешает догматизм.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ В СТО (АЛЕКСЕЙ ЕГОРОВ)

Ответ на вопрос 1. Поскольку за одну единицу ракетного времени мимо ракеты пролетает 8 межстолбовых расстояний, то 48 межстолбовых расстояний пролетят за 48/8 = 6 единиц ракетного времени. Поэтому показания старт-стопного хронометра на ракете, остановленного в момент пролета космонавта мимо станции В будут равны 6 Ев (6 единиц времени).

Ответ на вопрос 2. Обозначим скорость движения ракеты через v и будем ее искать.

С точки зрения космонавта столбы движутся с такой же скоростью только в другую сторону. Расстояние между столбами будет меньше с точки зрения космонавта из-за лоренцевского сокращения и будет равно

L' = (1 - (v/c)²)^1/2 Ед. (1)

По условию задачи 8 отрезков между столбами пролетают за 1 Ев. Получаем, что

v = 8*L'/(1 Eв). (2)

Подставив (1) в (2), получим уравнение

v = 8*(1 - (v/c)²)^1/2 (Ед/Ев) . (3)

Поскольку по условию задачи скорость света равна 10 Ед/Ев, то, подставив c = 10 (Eд/Ев) в (3), получим

v = 8*(1 - (v/(10(Ед/Ев)))²)^1/2 (Ед/Ев). (4)

Обозначим

w = v/(Ед/Ев). (5)

Тогда (4) можно записать в виде

w = 8*(1 - (w/10)²)^0.5. (6)

Возведя обе части уравнения (6) в квадрат, получим

w²= 64*(1 - (w/10)²). (7)

Решив это квадратное уравнение, получим

w = 8/(1,64)^0.5. (8)

Следовательно, из (5) получим

v = (8/(1,64)^1/2)(Ед/Ев) = 6,24695 (Ед/Ев). (9)

Это и есть скорость движения ракеты по СТО.

Ответ на вопрос 3. Экспериментатор на платформе измеряет время (по своим платформенным часам), за которое ракета пролетает 48 столбов и получает результат

T = 48 Ед/v = 6*(1,64)^1/2 Ев = 7,68 Ев. (10)

Так как относительно этого экспериментатора старт-стопный хронометр движется вместе с ракетой со скоростью v, то старт-стопный хронометр тикает медленнее и его показание T' в момент пролета станции В должно выражаться через T следующим образом

T' = Т (1 - (v/c)²)^1/2. (11)

Подставив в (11) значение c=10 (Eд/Ев) и выражение (9), получим

T' = T (1/1,64)^0.5. (12)

Подставляя (10) в (12), получим

T' = 6 Ев. (13)

Как мы видим, все сходится - по часам на платформе проходит больше времени, чем по часам на ракете.

Ответ на вопрос 4.

Согласно СТО показания остановленных вымпелами часов будут больше чисел, имеющихся на соответствующих вымпелах, в (1.64)^1/2 раз (примерно в 1.28 раз).

Решение:

Число на вымпеле (помноженное на Ев), воткнувшемся на i-том столбе, будет равно

Ti' = i/8 Ев . (14)

Расстояние между станцией A и i-тым столбом (покоящимися) равно

Li = i Ед . (15)

Поделив расстояния на скорость движения ракеты, получим показания остановленных вымпелами часов

Ti = (i Ед)/u . (16)

Отношение (16) и (14) дает

Ti/Ti' = ((i Ед)/u)/(i/8 Ев)

откуда

Ti/Ti' = V/u . (17)

Подставив (3) в (17) получим

Ti/Ti' = (1 + (V/c)²)^0.5. (18)

Подставив v = 8 Ед/Eв и c = 10 Ед/Eв, получим

Ti/Ti' = 1.64^0.5. (19)

Опубликовано 26 февраля 2005 г. Последняя редакция 17 марта 2005 года.

Переход:...Назад