Для определения длины движущегося тела рассмотрим те же две инерциальные системы отсчета А и B, о которых шла речь в разделе 3. Пусть в инерциальной системе отсчета B, относительно которой рассматриваемое тело покоится, координаты концов этого тела равны x₁' = 0 и x₂' = L_o , где L_o - собственная длина тела (длина тела в той инерциальной системе отсчета, относительно которой это тело покоится).

Для нахождения длины этого движущегося тела первым способом воспользуемся вторым уравнением преобразований (6.9) (поскольку тело покоится в инерциальной системе отсчета B). При движении этого тела вместе с системой отсчета B относительно системы отсчета А координаты концов этого тела в системе отсчета А определяются по формулам

x₁ = x₁'/Г + u t₁, (7.1)

x₂ = x₂'/Г + u t₂,   (7.2)

где t₁, t₂ - моменты времени по хронометрам системы отсчета А, в которые отмечаются положения переднего и заднего концов тела. Вычитая почленно из выражения (7.2) выражение (7.1), получим

x₂ - x₁ = (x₂' - x₁')/Г + u (t₂ - t₁). (7.3)

Величина (x₂ - x₁) в левой части выражения (7.3) будет длиной L движущегося тела в инерциальной системе отсчета А только при условии, если в правой части

(t₂ - t₁) = 0, (7.4)

т. е. если положения обоих концов движущегося тела в инерциальной системе отсчета А отмечаются в один и тот же момент времени по хронометрам системы отсчета А. Вследствие этого получим

L = L_o/Г = L_o(1 + u²/c_o²) ^-1/2. (7.5)

Для нахождения длины движущегося тела вторым способом определим, в какие моменты времени системы отсчета А точки x₁' = 0 и x₂' = L_o системы отсчета B совпадают с началом координат системы отсчета А.

Начала координат инерциальных систем отсчета А и B совпадают друг с другом в момент начала отсчета времени в обеих инерциальных системах отсчета. Это означает, что точка x₁' = 0 совпадает с точкой x₁ = 0 в момент времени t₁ = 0. Подставляя в выражение (7.2) (поскольку тело покоится в системе отсчета B мы обязаны использовать преобразования (6.9), из которых получено выражение (7.2)) x₂ = 0, x₂' = L_o, получим, что точка x₂' = L_o совпадает с началом координат системы отсчета А в момент времени (по хронометрам, покоящимся в системе отсчета А)

t₂ = -L_o/(u Г)_. (7.6)

Следовательно, между моментами нахождения точек x₁' = 0, и  x₂' = L_o системы отсчета B в начале координат системы отсчета А пройдет промежуток времени

t₂ - t₁ = L_o/(u Г)_. (7.7)

Умножая промежуток времени (7.7) на скорость u движения тела относительно системы А, получим длину движущегося тела в системе А, измеренную вторым способом

L = u (t₁ - t₂) = L_o/ Г= L_o(1 + u²/c_o²) ^-1/2. (7.8)

Сравнивая между собой выражения (7.5) и (7.8), видим, что при обоих способах измерения длина движущегося тела согласно новой теории пространства-времени оказывается одинаковой и меньшей собственной длины тела.

Если провести аналогичные рассуждения с преобразованиями Лоренца из специальной теории относительности, получим, что при обоих способах [[53]. Угаров В. А. Специальная теория относительности. - М.: Наука, 1977. - с. 70.]

L = L_o(1 - V²/c_o²)^1/2. (7.9)

Сравнивая выражение (7.9) с выражением (7.8), можно отметить, что как в специальной теории относительности, так и в новой теории пространства-времени при увеличении скорости движения тела длина движущегося тела в той инерциальной системе отсчета, относительно которой это тело движется, уменьшается, т. е. характер зависимости длины движущегося тела от скорости движения тела в новой теории пространства-времени качественно совпадает с характером аналогичной зависимости в специальной теории относительности. Отличия носят только количественный характер.

Здесь уместно пояснить, почему в преобразованиях Лоренца (6.13) и (6.14) из специальной теории относительности мы обозначили скорость движения одной инерциальной системы отсчета относительно другой буквой "V", а в новых преобразованиях координат и времени для обозначения скорости движения одной инерциальной системы отсчета относительно другой мы использовали букву "u".

Дело в том, что как входящий в преобразования Лоренца параметр

b = V/c_o,   (7.10)

так и входящий в новые преобразования параметр

b = u/c_u  (7.11)

изменяются в пределах от нуля до единицы. Это позволяет предположить, что это один и тот же параметр. Для обозначения этого параметра мы и использовали одну и ту же букву b в обеих теориях пространства-времени.

Тогда, приравняв правые части выражений (7.10) и (7.11), получим

V = u (1 + u²/c_o²) ^-1/2. (7.12)

Разрешая выражение (7.12) относительно u, получим

u = V (1 - V²/c_o²) ^-1/2. (7.13)

При этом в выражениях (7.12) и (7.13): u - это скорость движения одной инерциальной системы отсчета относительно другой в новой теории; V - это скорость движения одной инерциальной системы отсчета относительно другой в специальной теории относительности.

Из выражений (7.12) и (7.13) следует, что область допустимых значений "скорости V" лежит в пределах от нуля до c_o, а область допустимых значений "скорости u" лежит в пределах от нуля до бесконечности. Из этого можно сделать вывод, что либо "скорость u" из новой теории пространства-времени, либо "скорость V" из специальной теории относительности не является физически измеримой скоростью движения. Ряд соображений свидетельствует в пользу того, что физически измеримой скоростью движения одной инерциальной системы отсчета относительно другой является не "скорость V", а именно "скорость u" новой теории пространства-времени. Нетрудно заметить, что выражения (7.12) и (7.13) можно также получить, если приравнять друг другу правые части формул (7.8) и (7.9).

7.2. Исчезновение парадоксов времени

Согласно специальной теории относительности движущийся хронометр идет медленнее чем неподвижный. Эффект замедления хода движущегося хронометра, приводящий к известным парадоксам времени специальной теории относительности (парадоксу часов, парадоксу близнецов) можно объяснить следующим образом. Рассмотрим хронометр следующей конструкции. Между двумя параллельными неподвижными друг относительно друга зеркалами, разнесенными на расстояние D_o, движется световой импульс, попеременно отражаясь от каждого из зеркал. На одном из зеркал установлен фотоэлемент, а не другом - лазерный услилитель, так чтобы жти часы могли работать бесконечно долго. К выходу фотоэлемента подсоединен счетчик импульсов. При отражении света от зеркала с фотоэлементом часть света падает на фотоэлемент и на выходе фотоэлемента образуется электрический импульс. Счетчик, подсчитывающий количество импульсов с выхода фотоэлемента, подсчитывает тем самым количество временных промежутков, за каждый из которых свет дважды проходит расстояние между зеркалами (от зеркала с фотоэлементом до другого зеркала и обратно). Покоящиеся в системе B хронометры такой конструкции будем называть B-хронометрами, а покоящиеся в системе А хронометры точно такой же конструкции будем называть А-хронометрами. В инерциальной системе отсчета B промежуток времени между двумя соседними импульсами на выходе фотоэлемента B-хронометра будет равен

D_BB = 2 D_o/c_o . (7.14)

В инерциальной системе отсчета А промежуток времени между двумя соседними импульсами на выходе фотоэлемента А-хронометра будет равен

D_AA = 2 D_o/c_o .  (7.15)

Рис. 7.1. Взаимное расположение зеркал В-хронометра и осей координат системы отсчета А

Если плоскости зеркал B-хронометра перпендикулярны оси Х системы отсчета А (см. рис. 7.1), то согласно специальной теории относительности в инерциальной системе отсчета А (относительно которой B-хронометр движется со скоростью u вдоль оси Х) расстояние между зеркалами B-хронометра будет равно

D₁^СТО = D_o(1 - u²/c_o²)^1/2_.  (7.16)

Вследствие этого промежуток времени между двумя соседними импульсами на выходе фотоэлемента B-хронометра по А-хронометрам будет согласно специальной теории относительности равен

D_BA^СТО = D₁^СТО/(c_o - u) + D₁^СТО / (c_o + u) = 2 D_o/[ c_o (1 - u²/c_o²)^1/2]_. (7.17)

Пусть, например, этот B-хронометр в инерциальной системе отсчета А перемещается из пункта М в пункт Н за время

Dt_A= L_A/u , (7.18)

где L_A - расстояние между пунктами М и Н, измеренное масштабом, покоящимся в системе отсчета А; Dt_A- время движения B-хронометра из пункта М в пункт Н по А-хронометрам, покоящимся в пунктах М и Н и синхронизированным друг с другом эйнштейновским способом световыми сигналами от источника, покоящегося в системе отсчета А.

Тогда покоящийся в системе отсчета А наблюдатель, который измерил расстояние L_A и скорость u движения B-хронометра, вычислит, что за время движения B-хронометра из пункта М в другой пункт Н покоящиеся А-хронометры системы отсчета А насчитают количество импульсов, равное

n₁ = Dt_A / D_AA= L_Ac_o/(2 u D_o). (7.19).

Этот же покоящийся в системе А наблюдатель, для которого промежуток времени между двумя соседними импульсами на выходе фотоэлемента B-хронометра определяется выражением (7.17), может вычислить, что за время движения B-хронометра из пункта М в пункт Н этот B-хронометр насчитает количество импульсов, равное

n₂ = Dt_A / D_BA^СТО = n₁(1 - u²/c_o²)^1/2 < n₁. (7.20)

И именно на основании расчетов по формуле (7.20) этот наблюдатель, покоящийся в системе отсчета А, сделает вывод, что согласно специальной теории относительности движущийся B-хронометр отстает от неподвижных (относительно наблюдателя, покоящегося в системе отсчета А) А-хронометров.

В формулах (7.16), (7.17) и (7.20) под релятивистским корнем мы записали истинную скорость u движения B-хронометра потому, что именно со скоростью u  B-хронометр движется относительно системы отсчета А.

Итак, из выражения (7.20) следует, что согласно специальной теории относительности если в пунктах М и Н находятся синхронизированные друг с другом А-хронометры и если B-хронометр, движущийся из пункта М в пункт Н с постоянной скоростью u, имел в пункте М показания, совпадающие с показаниями А-хронометра из пункта М, то за время движения B-хронометра из пункта М в пункт Н показания А-хронометров изменятся на число n₁, а показание B-хронометра изменится на число n₂ < n₁. То есть, согласно специальной теории относительности если даже B-хронометр был в точке М синхронным с А-хронометром, покоящимся в пункте М, то этот B-хронометр по прибытии в пункт Н уже не будет синхронным с А-хронометром, покоящимся в пункте Н, а будет отставать от А-хронометра пункта Н. Именно в этом смысле и говорят, что согласно специальной теории относительности движущийся хронометр идет медленнее неподвижных хронометров.

Рассмотрим теперь эту же ситуацию в том случае, если в природе существует зависимость скорости света от скорости источника вида (2.1). В этом случае расстояние между зеркалами B-хронометра (равное D_o в инерциальной системе отсчета B) в инерциальной системе отсчета А будет равно (см. формулы (7.5) и (7.8))

D₂ = D_o(1 + u²/c_o²)^-1/2. (7.21)

А согласно новой теории пространства-времени промежуток времени между двумя соседними импульсами на выходе фотоэлемента B-хронометра по А-хронометрам системы А будет равен

D_BA = D₂/(c_u - u) + D₂/(c_u + u) = 2 D_o/c_o. (7.22)

Тогда покоящийся в системе отсчета А наблюдатель, который измерил расстояние L_A и скорость u движения B-хронометра, вычислит, что за время движения B-хронометра из пункта М в пункт Н этот B-хронометр насчитает количество импульсов, равное

n₃ = Dt_A / D_BA = n₁.  (7.23)

Это означает, что в соответствии с теорией пространства-времени, вытекающей из зависимости (2.1), движущийся B-хронометр насчитает за время своего движения из пункта М в пункт Н точно такое же количество импульсов, какое насчитает за это же время синхронизированные друг с другом А-хронометры, покоящиеся в пунктах М и Н.

Таким образом, согласно теории пространства-времени, вытекающей из зависимости (2.1), движущийся хронометр "идет" точно с такой же скоростью, что и неподвижные хронометры. Поэтому в новой теории пространства-времени никаких парадоксов времени не возникает. Впрочем, отсутствие "замедления времени" в движущихся инерциальных системах отсчета по сравнению со "скоростью течения времени" в неподвижной инерциальной системе отсчета вытекает непосредственно из принципа полного равноправия инерциальных систем отсчета. Вспомним, ведь саму зависимость (2.1) мы получили в разделе 2 только благодаря тому, что из принципа полного равноправия инерциальных систем отсчета (принципа относительности) нам удалось получить утверждение: “Законы, по которым изменяются показания хронометра, не зависят от того, к которой из двух координатных систем, движущихся относительно друг друга равномерно и прямолинейно, эти изменения показаний относятся”.