Новая четырехмерная динамика материальной точки

Переход:.....Назад.....Содержание.....Вперед

9.2. Новая четырехмерная динамика материальной точки

В инерциальных системах отсчета А и B, которые мы ввели в рассмотрение в разделе 3, любое событие можно характеризовать четырехмерными радиус-векторами

(9.33)

(9.34)

где

причем это любое событие происходит с телом, покоящимся в инерциальной системе отсчета B. Показания хронометра, покоящегося в начале координат инерциальной системы отсчета B, совпадают с показаниями любого хронометра, покоящегося в инерциальной системе отсчета А, если все хронометры в системе отсчета А синхронизированы друг с другом эйнштейновским способом при помощи источника света, покоящегося в системе отсчета А, и если в момент совпадения начал координат систем отсчета А и B хронометры, покоящиеся в началах координат систем отсчета А и B, имели нулевые показания. В этом можно убедиться, подставляя x' = 0 в первое уравнение преобразований (6.10). Получим:

t = t '..(9.35)

Тогда в окрестности точки x' = 0 (т. е. вблизи начала координат инерциальной системы отсчета B) можно ввести в рассмотрение векторы четырехмерной скорости как производные от четырехмерных векторов (9.33) и (9.34) по инвариантному времени (9.35)

, .(9.36)

, (9.37)

где - единичные векторы, направленные вдоль осей координат инерциальных систем отсчета B и А, соответственно.

Из выражений (9.36) и (9.37) следует, что первые три составляющие четырехмерной скорости в новой теории пространства-времени являются составляющими обычной трехмерной скорости. Четвертая же составляющая 4-скорости в новой теории пространства-времени равна скорости света в соответствующей инерциальной системе отсчета, умноженной на мнимую единицу

.(9.38)

При этом четвертая составляющая 4-скорости тела, покоящегося в данной инерциальной системе отсчета, в этой инерциальной системе отсчета будет всегда равна ic_o.

Нетрудно убедиться, что и в новой теории пространства-времени квадрат 4-вектора скорости является инвариантом при преобразованиях координат и времени от одной инерциальной системы отсчета к другой (как и в СТО).

Введем теперь в рассмотрение 4-импульс как произведение массы покоя на вектор 4-скорости (по аналогии с трехмерным импульсом)

.(9.39)

где

..(9.40)

.(9.41)

Тогда в новой теории пространства-времени первые три составляющие 4-импульса будут равны точно составляющим обычного трехмерного импульса.

Из формул (9.41) и (9.25) следует, что

..(9.42)

т. е. и в новой теории пространства-времени трехмерный импульс, и полная энергия материальной точки являются составляющими одного 4-вектора энергии-импульса (как и в СТО).

Второй закон Ньютона в нерелятивистской механике записывается в виде

или .(9.43)

где - 3-векторы обычной скорости и обычного импульса нерелятивистской механики Ньютона; - трехмерный вектор обычной силы.

По аналогии с выражением (9.43) можно предположить, что и четырехмерное уравнение движения имеет вид

, .(9.44)

где - 4-вектор энергии-импульса новой теории пространства-времени; - 4-вектор силы новой теории пространства-времени, составляющие которого нам следует определить.

Для первых трех составляющих 4-вектора силы из уравнений (9.44) и (9.40) получим

(9.45)

т. е. первые три составляющие 4-вектора силы в новой теории пространства-времени являются составляющими обычной трехмерной силы.

Четвертую же составляющую 4-вектора силы новой теории пространства-времени определим по методике, изложенной на стр. 137 в [ [53]. Угаров В. А. Специальная теория относительности. - М.: Наука, 1977. - с. 70.].

Как уже было установлено

Дифференцируя это равенство по времени t, получим

.(9.46)

Но из равенств (9.45) и (9.40) следует, что

.(9.47)

Подставляя выражения (9.47) в равенство (9.46), получим

.(9.48)

Из выражения (9.48) получим выражение для четвертой составляющей 4-вектора силы в новой теории пространства-времени

,..(9.49)

где - 3-векторы силы и скорости нерелятивистской механики. Из выражений (9.49), (9.44) и (9.41) следует

.(9.50)

причем выражение (9.50) с учетом формулы (7.12) превращается в известное выражение из СТО

.(9.51)

С учетом формулы (9.42) выражение (9.50) можно записать в виде

.(9.52)

С учетом формулы (7.12) выражение (9.52) из новой теории пространства-времени превращается в известное выражение СТО

. (9.53)

Преобразования (6.10) с учетом обозначений, принятых в выражениях (9.33) и (9.34), можно переписать в виде

.(9.54)

Преобразования (9.54) - это преобразования составляющих 4-радиус-вектора. А 4-радиус-вектор - это такой же 4-вектор как и все остальные. Поэтому если в инерциальной системе отсчета B задан 4-вектор то в инерциальной системе отсчета А составляющие этого 4-вектора определяются по формулам

. .(9.55)

Следовательно, как только, например, скорость в 4-пространстве записана в виде 4-вектора, сразу же можно записать формулы преобразования ее составляющих при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.

Пусть, например, в системе отсчета B заданы составляющие 4-скорости , а система отсчета B движется со скоростью u в положительном направлении оси Х системы отсчета А. Тогда согласно формулам преобразования 4-векторов (9.55) получим