Если X', Y', Z', T' являются декартовыми координатами события, происходящего с объектом в той инерциальной системе отсчета (ИСО), относительно которой этот объект покоится, а X, Y, Z, T являются декартовыми координатами этого же события в той ИСО, относительно которой рассматриваемый объект движется с постоянной скоростью u, то преобразование

..(П1.1)

где

; ; .,  .(П1.2)

обеспечивает инвариантность квадрата интервала

,  .(П1.3)

Равенство (П1.3) можно представить в виде

g_oo(dx^о)² + g₁₁(dX)² + g₂₂(dY)² + g₃₃(dZ)² = g_oo' (dx' ^о)² + g₁₁' (dX' )² + g₂₂' (dY' )² + g₃₃' (dZ' )²,  (П1.3а)

где x^о =  c_u T = с_o Г T - произведение скорости света c_u на время Т в нештрихованной ИСО ,  x' ^о= с_oT ' - произведение скорости света с_o на время Т ' в штрихованной ИСО.

Метрический тензор g_ik' правой части уравнения (П1.3а) имеет составляющие

g_oo' = 1, g₁₁' = g₂₂' = g₃₃' = -1, g_ik' = 0 при i № k; i, k = 0, 1, 2, 3..(П1.4)

При сравнивании (П1.3а) с (П1.3) в этом никаких сомнений не возникает. Не возникает ни малейших сомнений при сравнивании (П1.3а) с (П1.3) также и в том, что метрический тензор g_ik левой части уравнения (П1.3a) имеет составляющие

g₁₁ = g₂₂ = g₃₃ = -1, g_ik = 0 при i № k, i, k = 0, 1, 2, 3. (П1.5)

Что же касается составляющей g_oo, то вследствие того, что в левой части уравнения (П1.3) сомножитель с_o² умножается на Г^2,, может показаться, что g_oo = Г² .

Докажем поэтому, что g_oo = 1.

Пусть мы не знаем, чему равна составляющая g_oo. Но что мы знаем абсолютно точно, так это то, что g_oo > 0 .

Действительно, первое слагаемое в левой части уравнения (П1.3) содержит произведение трех сомножителей, каждый из которых является квадратом одной из величин с_о, Г, dT. Ни одна из этих трех величин не может быть мнимой величиной. Значит, произведение квадратов этих трех величин является величиной положительной. Следовательно, g_oo > 0.

Но если g_oo > 0, то преобразование (П1.1) из которого и получено уравнение (П1.4), относится к числу допустимых преобразований (см. [[6]. Логунов А. А. Лекции по теории относительности и гравитации. Современный анализ проблемы. 3-в изд., доп., - М.: Изд-во МГУ, 1985] с. 71). Под "допустимыми" координатами понимаются такие координаты, которые позволяют реализовать соответствующую координатную систему с помощью реальных физических процессов (см. [6], c. 96) . Чтобы координаты были допустимыми, необходимо, чтобы компонента g_oo метрического тензора была положительной величиной, а квадратичная форма, построенная с использованием пространственных компонент g_ab метрического тензора была отрицательно определенной (cм.  [6], c. 96):

g_oo> 0, g_ab dx^a dx^b = (- dX² - dY² - dZ²)< 0 . (П1.6)

Учитывая, что не только для допустимых, а для любых преобразований координат величина четырехмерного объема

sqrt(-g)dx⁰dx¹dx²dx³

является инвариантом (см. стр. 66 в [6], а также стр. 158 в [6]) , мы можем записать

sqrt(-g) с_o Г dT dX dY dZ = sqrt(-g') с_o dT ' dX '  dY '  dZ ' , (П1.7)

где Г, dT, dX, dY, dZ - величины, входящие в левую часть равенства (П1.3); dT ', dX', dY', dZ' - величины, входящие в правую часть равенства (П1.3);  с_o- скорость света в вакууме; sqrt(h) - квадратный корень из h;

есть определитель метрического тензора (П1.4);

dT = dT ', .(П1.10)

что вытекает из преобразования (П1.1) при X' = 0;

dX = dX ' / Г, .(П1.11)

что вытекает из преобразования (П1.1) при T = 0;

dY = dY ', dZ = dZ ' ,..(П1.12)

Подставляем  значения (П1.8) ... (П1.12) в уравнение (П1.7). Получим

sqrt(g_oo) с_o  dT '  dX '  dY '  dZ ' =  с_o dT ' dX '  dY '  dZ ' , (П1.13)

Следовательно,

g_oo = 1 . .(П1.14)

Таким образом, мы доказали, что метрический тензор g_ik левой части уравнения (П1.3), составляющие которого определяются равенствами (П1.5) и (П1.14), совпадает с диагональным метрическим тензором (П1.4).

Следовательно, рассматриваемые нами преобразования координат с неинвариантной скоростью света относятся к классу допустимых (по Логунову [[6]. Логунов А. А. Лекции по теории относительности и гравитации. Современный анализ проблемы. 3-в изд., доп., - М.: Изд-во МГУ, 1985]) преобразований координат и они осуществляют преобразования в псевдоевклидовом пространстве-времени с форминвариантным диагональным единичным метрическим тензором с диагональными компонентами, равными (g_oo ,   g₁₁ ,  g₂₂ ,  g₃₃ ) = (g_oo' ,  g₁₁' ,  g₂₂' ,  g₃₃' ) = (1, -1, -1, -1).

Homo sapiens 10 сентября, 10:12

То Мамаев

1. <Равенство (П1.3) можно представить в виде

g_oo(dx^о)² + g₁₁(dX)² + g₂₂(dY)² + g₃₃(dZ)² = g_oo' (dx' ^о)² + g₁₁' (dX' )² + g₂₂' (dY' )² + g₃₃' (dZ' )²,  (П1.3а)

где x^о =  c_u T = с_o Г T - произведение скорости света c_u на время Т в нештрихованной ИСО ,  x' ^о= с_oT ' - произведение скорости света с_o на время Т ' в штрихованной ИСО.>

Связь между x^о и T, а также между x^о' и T ' должна быть одинакова, т.е. должно быть
x^о = Со*T и x^о' = Со*T '. Это связано с тем, что Со есть просто постоянный коэффициент, имеющий размерность скорости и предназначенный лишь для согласования единиц измерения по оси T (сек) с единицами измерения по осям X, Y, Z (м). Вы можете положить Со=1 (как это часто делается в релятивистких теориях), и тогда скорости будут безразмерными величинами и временную координату придется измерять в метрах, что не очень удобно. Можно даже не вводить множитель Со во временную координату, а отнести его на компоненту метрического тензора g_oo', т.е. положить g_oo'=Со², правда это тоже создаст некоторые неудубства. Но в любом случае Вы получите, что в отличие от преобразований Лоренца (которые являются вращениями в плоскости TX и ортогональными в том смысле, что они вообще не меняют компонент метрического тензора), ваши преобразования меняют компоненту g_oo метрического тензора, так что в любом случае отношение g_oo/g_oo'=Г², а это и есть изменение масштабов вдоль оси T.

2. <Учитывая, что не только для допустимых, а для любых преобразований координат величина четырехмерного объема  sqrt(-g)dx⁰dx¹dx²dx³    является инвариантом (см. стр. 66 в [6], а также стр. 158 в [6]), мы можем записать

sqrt(-g) с_o Г dT dX dY dZ = sqrt(-g') с_o dT ' dX '  dY '  dZ ' , (П1.7)

где Г, dT, dX, dY, dZ - величины, входящие в левую часть равенства (П1.3); dT ', dX', dY', dZ' - величины, входящие в правую часть равенства (П1.3); с_o - скорость света в вакууме; sqrt(h) - квадратный корень из h;>

В данном контексте под допустимымыми преобразованиями понимаются такие преобразования СК, которые не меняют лишь сигнатуру (+, -, -, -) метрического тензора. Это влияет на выбор знака перед фундаментальным определителем g при извлечении из него квадратного корня. Поэтому на изменение модулей компонент метрического тензора при замене СК не накладывается никаких ограничений. В этом случае элементарный объем, определяемый формулой dV=sqrt(-g)dx0dx1dx2dx3 вообще говоря НЕ ЯВЛЯЕТСЯ ИНВАРИАНТОМ! Подробнее: отношение элементарного объема в нештрихованной СК dV=sqrt(-g)dx0dx1dx2dx3 к элементарному объему в штрихованной СК' dV'=sqrt(-g')dx0'dx1'dx2'dx3' равно якобиану J преобразования, т.е. dV/dV'=J. (Этот факт используется в обычном интегральном исчислении при замене переменных в объемных интегралах.) Это следует из того, что для любых преобразований СК фундаментальный определитель меняется по формуле g=g'*J^2, что дает sqrt(|g|)=sqrt(|g'|)*J, а элементарый объем в каждой СК определяется как объем, построенный на векторах малой длины, касательных к координатным линиям этой СК.
Т.о. принимая, что все пространственные составляющие метрического тензора в обоих СК равны -1, получим при выбранной сигнатуре что -g=g_oo и -g'=g_oo', и тогда g_oo=g_oo'*J^2. Т.к. якобиан Вашего преобразования равен Г (расчет проведите сами), то и получаем g_oo=g_oo'*Г^2.

Если же Вы под инвариантностью элементарного объема понимаете тот факт, что объем 4-мерного параллелепипеда как геометрического тела, построенного на координатных отрезках dx0,dx1,dx2,dx3 в заданной СК и в этой СК вычисляемый по формуле dV=sqrt(-g)dx0dx1dx2dx3, не зависит от того, в какой СК вычисляется объем, то это тоже является верным, но при этом формула вычисления объема в СК' в общем случае не будет иметь вид dV=sqrt(-g')dx0'dx1'dx2'dx3', а будет сложным образом (в виде определителя - см. любой курс дифф. геометрии) выражаться через компоненты в СК' векторов, имеющих в заданной СК компоненты {dx0,0,0,0}, {0,dx1,0,0}, {0,0,dx2,0}, {0,0,0,dx3}.