Переход:.....Назад.....Содержание.....Вперед

Будем обозначать декартовые координаты события и время события в одной инерциальной системе отсчета (ИСО) символами x, y, z, t, а в другой ИСО символами x', y', z', t'. Пусть штрихованная ИСО движется в направлении возрастающих значений координаты х не штрихованной ИСО с постоянной скоростью u, оси х и x' обеих ИСО совпадают друг с другом, а другие оси параллельны друг другу.

Тогда, если событие происходит с объектом, покоящимся в штрихованной ИСО, преобразования координат и времени события в новой теории пространства-времени имеют вид

(П3.1)
(П3.2)

(П3.3)
(П3.4)

Пусть источник электромагнитного поля покоится в штрихованной ИСО. Тогда в этой ИСО в вакууме справедливы уравнения Максвелла-Лоренца

(П3.5)
(П3.6)
(П3.7)
(П3.8)

где - векторы напряженности магнитного и электрического полей, соответственно; - векторы индукции соответственно магнитного и электрического полей; - вектор плотности тока и плотность заряда соответственно, причем

(П3.9)

В проекциях на координатные оси уравнения (П3.5) - (П3.8) имеют вид

(П3.10)
(П3.11)
(П3.12)
(П3.13)
(П3.14)
(П3.15)
(П31.16)
(П3.17)

Чтобы решить поставленную задачу, нам необходимо заменить частные производные по штрихованным координатам и времени частными производными по не штрихованным координатам и времени, используя известные выражения для частных производных от сложной функции

(П3.18)
(П3.19)
(П3.20)

определив входящие в выражения (П3.18) и (П3.19) частные производные из преобразований (П3.1) - (П3.2).

Примечание: Формулы (П3.18) и (П3.19) получены по формуле (4.5-10) со стр. 110 книги Г. Корн, Т. Корн "Справочник по математике для научных работников и инженеров", М., Наука, 1973 (раздел 4.5.4. Правила   дифференцирования). Копию этой страницы этого справочника с моим комментарием можно скачать отсюда korn-110.pdf (26 кбайт).

Получим

(П3.21)
(П3.22)

С учетом формул (П3.20) - (П3.22) уравнение (П3.10) приобретает вид

(П3.23)

а уравнение (П3.13) - вид

(П3.24)

Исключаем из уравнения (П3.23) D'_x' / x. Для этого из уравнения (П3.24) находим

и подставляем в уравнение (П3.23), получим

(П3.25)

Исключаем из уравнения (П3.24) ¶ D'_{x '} /¶ t.. Для этого из уравнения (П3.23) находим

и подставляем в уравнение (П3.24). Получим

(П3.26)

С учетом формул (П3.20) - (П3.22) уравнение (П3.11) приобретает вид

(П3.27)

а уравнение (П3.12) - вид

(П3.28)

С учетом уравнений (П3.20) - (П3.22) уравнение (П3.14) приобретает вид

(П3.29)

а уравнение (П3.17) - вид

(П3.30)

Исключаем из уравнения (П3.29) B_x/x. Для этого из (П3.30) находим

и подставляем в уравнение (П3.29). Получим

(П3.31)

Исключаем из уравнения (П3.30) B'_x' /t. Для этого из (П3.29) находим

и подставляем в уравнение (П3.30). Получим

(П3.32)

С учетом формул (П3.20) - (П3.22) уравнение (П3.15) приобретает вид

(П3.33)

а уравнение (П3.16) - вид

(П3.34)

Итак, вместо формул (П3.10) - (П3.17) в штрихованной ИСО мы получили соответствующие формулы в не штрихованной ИСО

(П3.35)
(П3.36)
(П3.37)
(П3.38)
(П3.39)
(П3.40)
(П3.41)
(П3.42)

Введем в формулах (П3.35) - (П3.42) обозначения

с_uD_x = с_oD'_x' ,     с_uD_y=g (с_oD'_y' + b H'_z),     с_uD_z=g (с_oD'_z' - b H'_y' );
E_x = E'_x' ,     E_y = g (E'_y' + b с_o B'_z' ) ,     E_z = g (E'_z' - b с_oB'_y' );

с_uB_x = с_oB'_x' ,     с_uB_y=g (с_oB'_y' - b E'_z' ),      с_uB_z=g (с_oB'_z' + b E'_y' );.(П3.43)

H_x = H'_x' ,     H_y = g (H'_y' - b с_oD'_z' ),       H_z = g (H'_z' + b с_oD'_y' );
j_x = g (j'_x' + b с_o r ' ),      j_y = j'_y' ,      j_z = j'_z' ,       с_ur = g (с_o r ' + b j'_x' ),

где g = (1 - b ²)^{- 0.5}; b = u/с_u ; с_u = с_o (1 + u²/с_o²)^0,5 .

Тогда формулы (П3.35) - (П3.42) принимают вид

(П3.44)
(П3.45)
(П3.46)
(П3.47)
(П3.48)
(П3.49)
(П3.50)
(П3.51)

Формулы (П3.44) - (П3.51) можно записать в виде

.............
(П3.52)
.............
..............

Таким образом, уравнения Максвелла-Лоренца инвариантны относительно новых преобразований координат и времени.

Переход:.....Назад.....Содержание.....Вперед