Переход:.....Назад.....Содержание.....Вперед

Рассмотрим две движущиеся друг относительно друга равномерно и прямолинейно инерциальные системы отсчета А (c нештрихованными координатами x, y, z, t) и B (с штрихованными координатами x', y', z', t'). Пусть в каждой из них имеется прямоугольная пространственная система координат и множество одинаковых покоящихся друг относительно друга хронометров, синхронизированных друг с другом эйнштейновским способом [[3]. Einstein A. Zur Electrodynamik bewegten Korper // Annalen der Physik. - 1905. - B., 17. - s. 891 – 921. Эйнштейн А. “К электродинамике движущихся тел”, Собрание научных трудов, т. 1, М., Наука, 1965, с. 7 – 38.]. При этом все хронометры, покоящиеся в инерциальной системе отсчета А, синхронизированы друг с другом эйнштейновским способом при помощи источника света, покоящегося в инерциальной системе отсчета А, а все хронометры, покоящиеся в инерциальной системе отсчета B, синхронизированы друг с другом эйнштейновским способом при помощи источника света, покоящегося в инерциальной системе отсчета B.

Тогда любое событие в инерциальной системе отсчета А может характеризоваться галилеевыми координатами x,   y, z , t , а в инерциальной системе отсчета B - галилеевыми координатами x',  y',   z',  t' .

Пусть одноименные оси декартовых пространственных координат этих двух инерциальных систем отсчета будут параллельны друг другу, оси x и x' совпадают друг с другом, инерциальная система отсчета B движется с физической скоростью u в положительном направлении оси x инерциальной системы отсчета А, а хронометры, покоящиеся в началах координат инерциальных систем отсчета А и B, имеют нулевые показания в то мгновение, когда начала пространственных координат инерциальных систем отсчета А и B совпадают друг с другом. В связи с тем, что принцип полного равноправия инерциальных систем отсчета мы положили в основу рассуждений, мы должны считать равенства (2.13) и (2.14) выполняющимися в реальной действительности абсолютно точно. Обозначим

С (R_А, G_А) = С (R_B, G_B) = c_o . (3.1)

Тогда чтобы получить закон распространения света от движущегося источника, вытекающий из принципа полного равноправия инерциальных систем отсчета, мы должны предположить, что входящие в равенство (2.14) величины зависят от скорости и эти зависимости имеют вид

С (R_А, G_B) = c_o·Y(u),   (3.2)

С (R_B, G_А) = c_o·Y( - u), (3.3)

Y(u) = Y( - u), (3.4)

Y(0) = 1. (3.5)

где Y(u) - неизвестная функция от скорости движения одной инерциальной системы отсчета относительно другой, которую нам следует определить; Y(0) - значение неизвестной функция Y(u) при u = 0;  c_o=299792458м/с - скорость света в вакууме от неподвижного источника [ [24]. Сажин М. В. Скорость света // Физика космоса. Маленькая энциклопедия. – М.: Сов. энциклопедия, 1986. – с. 622.].

Никакой другой информации о свойствах или виде функции Y(u), кроме свойств (3.4) и (3.5), мы из равенств (2.13) и (2.14) получить не можем. Но это не означает, что задача отыскания закона распространения света от движущегося источника, который являлся бы следствием принципа полного равноправия инерциальных систем отсчета (принципа относительности), неразрешима. Ведь равенства (2.13) и (2.14) являются лишь частными следствиями из принципа относительности для процесса распространения света и ими содержание принципа относительности не исчерпывается.

Действительно, Эйнштейн сформулировал принцип относительности следующим образом [ [17]. Эйнштейн А. К электродинамике движущихся тел. Собрание научных трудов, т.1. - М.: Наука, 1965. - с. 7 - 35.]:

В [[3]. Einstein A. Zur Electrodynamik bewegten Korper // Annalen der Physik. - 1905. - B., 17. - s. 891 – 921. Эйнштейн А. “К электродинамике движущихся тел”] этот принцип был сформулирован так:

"Die Gesetze, nach denen sich die Zustande der physikalischen Systeme andern, sind unahangig davon, auf welches von zwei relatif zueinander in gleichformiger Translationsbewegung befindlichen Koordinatensystemen diese Zustansanderungen bezogen werden".

"Законы, по которым изменяются показания хронометра, не зависят от того, к которой из двух координатных систем, движущихся относительно друг друга равномерно и прямолинейно, эти изменения показаний относятся".

Из этого же утверждения следует, что принцип полного равноправия инерциальных систем отсчета (принцип относительности) никакого "замедления времени" в движущихся инерциальных системах отсчета не допускает. Вот это следствие из принципа полного равноправия инерциальных систем отсчета (принципа относительности) мы и используем для нахождения закона распространения света от движущегося источника вида

c_u = c_o Y(u), (3.6)

где c_u - скорость света в вакууме от движущегося источника; c_o - скорость света в вакууме от неподвижного источника;  Y(u) - некоторая неизвестная функция, обладающая свойствами (3.4) и (3.5).

Пусть B_о есть начало пространственной системы координат инерциальной системы отсчета B, А_o - начало координат инерциальной системы отсчета А. Пусть источник света G_B, покоящийся в точке B_o, в момент времени t' = 0 посылает световой сигнал в направления оси y', перпендикулярной направлению движения инерциальной системы отсчета А относительно инерциальной системы отсчета B. Пусть на оси y' системы отсчета B на расстоянии y_o' от точки B_о установлено зеркало B₁, от которого этот световой сигнал отражается и возвращается в точку B_o. Тогда (поскольку и источник света G_B, и зеркало покоятся в системе отсчета B) этот световой сигнал распространяется в системе отсчета B со скоростью c_o как при его движении из точки B_o к зеркалу B₁, так и при его движении от зеркала B₁ к точке B_o, что показано на рис. 3.1 а). Вследствие этого световой сигнал вернется в точку B_o через промежуток времени

Dt' = 2·y_o'/c_o (3.7)

после излучения этого светового сигнала из точки B_o. Рассмотрим теперь распространение этого же светового сигнала в инерциальной системе отсчета А, относительно которой источник света G_B и зеркало движутся вместе с системой отсчета B вправо со скоростью u.

Рис. 3.1. Распространение света в двух движущихся друг относительно друга системах отсчета: а) в той системе отсчета В, относительно которой источник света неподвижен: б) в той системе отсчета А, относительно которой источник света движется.

В момент времени t' = 0 точки B_о и А_о совпадают друг с другом. Поэтому в инерциальной системе отсчета А излучение этого светового сигнала происходит из точки А_о. За то время, пока световой сигнал движется в системе отсчета B из точки B_о к зеркалу B₁, сама система отсчета B, двигаясь со скоростью u относительно системы отсчета А, переместится на определенное расстояние. Поэтому отражение света от зеркала B₁ в инерциальной системе отсчета А произойдет в точке N на рис. 3.1 б). А за то время, пока световой сигнал движется в системе отсчета B от зеркала B₁ в точку B_о, система отсчета B тоже переместится на определенное расстояние и в тот момент времени, когда световой сигнал придет в системе отсчета B в точку B_о, точка B_о системы отсчета B будет совпадать с точкой М системы отсчета А.

Вполне очевидно, что А_оN = NМ. Очевидно также и то, что путь светового сигнала в системе отсчета А (равный длинам прямых линий А_оN и NM) будет большим, чем путь этого же светового сигнала в системе отсчета B (равный удвоенной длине линии B_оB₁).

Если обозначить через Dt промежуток времени между моментом излучения светового сигнала из точки А_о и моментом приема этого светового сигнала в точке М системы отсчета А, то путь, проходимый световым сигналом в системе отсчета А от точки А_о до точки М, можно определить по теореме Пифагора

s = 2 [ y_o² + ( 0,5 u Dt )² ]^1/2 . (3.8)

Но в системе отсчета А и источник света, и зеркало движутся со скоростью u. Поэтому мы должны предположить, что скорость распространения этого светового сигнала в инерциальной системе отсчета А вдоль прямых линий А_оN и NМ определяется выражением (3.6). Вследствие этого промежуток времени Dt между моментом излучения светового сигнала в точке А и моментом приема сигнала в точке М в инерциальной системе отсчета А можно вычислить, разделив световой путь s, определяемый уравнением (3.8), на скорость распространения света в системе отсчета А, определяемую выражением (3.6). Получим

Dt  = 2 [ y_o² + (0,5 u Dt )² ]^1/2/ [c_o Y(u) ] . (3.9)

Определяя Dt из выражения (3.9), получим

Dt = 2 y_o/{ c_o [ Y²(u) - u²/c_o² ] ^1/2}. (3.10)

Используем теперь полученное выше следствие из принципа полного равноправия инерциальных систем отсчета: "Законы, по которым изменяются показания хронометра, не зависят от того, к которой из двух координатных систем, движущихся относительно друг друга равномерно и прямолинейно, эти изменения показаний относятся".

В соответствии с этим следствием из принципа относительности если в точках А_о и М инерциальной системы отсчета А имеются синхронизированные друг с другом указанным выше образом хронометры, а в точке B_о тоже имеется хронометр точно такой же конструкции, который в момент времени t = t' = 0 имеет одинаковые показания с хронометром, покоящимся в точке А_о, то в момент приема светового сигнала в точке М хронометр, покоящийся в точке B_о, должен иметь одинаковые показания с хронометром, покоящимся в точке М. Это означает, что в соответствии с этим следствием из принципа относительности мы имеем право приравнять друг другу правые части равенств (3.7) и (3.10), т. е. мы имеем право записать

2 y_o'/c_o = 2 y_o/{c_o [ Y²(u) - u²/c_o²]^1/2}. (3.11)

Чтобы продолжить рассуждения, нам необходимо показать, что поперечные размеры движущегося тела не зависят от скорости его движения.

Во-первых, предположим, что поперечные размеры движущихся тел уменьшаются при, увеличении скорости движения тел.

Рис. 3.2. Поперечные размеры тел не могут уменьшаться при увеличении скорости. Если поперечные размеры движущегося тела уменьшаются, то: а) кольцо покоится, а диск движется, после встречи диск и кольцо продолжат движение без повреждений; b) диск покоится, а кольцо движется, при встрече диск и кольцо разрушатся.

Тогда, если считать покоящимся телом кольцо, а движущимся телом - диск, согласно исходному предположению диаметр движущегося диска при достаточно большой скорости движения может стать меньшим внутреннего диаметра кольца так, что при встрече диска с кольцом диск свободно пройдет сквозь отверстие в кольце и в дальнейшем оба эти тела продолжат движение неповрежденными, удаляясь друг от друга. Если же считать покоящимся телом диск, а движущимся телом - кольцо, то согласно исходному предположению наружный диаметр движущегося кольца станет меньшим диаметра диска и при встрече кольца с диском произойдет их столкновение и разрушение обоих тел. Но так как в соответствии с принципом относительности любое из этих двух тел можно считать либо покоящимся, либо движущимся, то исходное предположение, что поперечные размеры движущихся тел уменьшаются при увеличении скорости движения тел, приводит к противоречию существования тел после их встречи. Ведь эти тела не могут одновременно и существовать, и не существовать. Это означает, что первое исходное предположение является ошибочным.

Во-вторых, предположим, что поперечные размеры движущихся тел увеличиваются при увеличении скорости движения.

Рис. 3.3. Поперечные размеры тел не могут увеличиваться при увеличении скорости. Если поперечные размеры движущегося тела увеличиваются, то: а) диск покоится, а кольцо движется, после встречи диск и кольцо продолжат движение без повреждений; б) кольцо покоится, а диск движется, при встрече диск и кольцо разрушатся.

Тогда, если считать покоящимся телом кольцо, а движущимся телом - диск, согласно этому второму предположению диаметр движущегося диска станет большим, чем наружный диаметр кольца, что приведет к столкновению и разрушению обоих тел при их встрече. Если же считать покоящимся телом диск, а движущимся телом - кольцо, то согласно второму предположению при достаточно большой скорости и внутренний, и наружный диаметры движущегося кольца могут стать большими диаметра диска и при встрече кольца с диском столкновения обоих тел не произойдет и в дальнейшем оба тела начнут удаляться друг от друга не поврежденными. Таким образом, и второе предположение, что поперечные размеры движущихся тел увеличиваются при увеличении скорости движения тел, приводит к противоречию существования тел после их встречи. Это означает, что и второе предположение ошибочно.

Итак, согласно проведенному выше рассуждению мы можем считать доказанным, что входящие в формулу (3.11) величины y_o и y_o' связаны друг с другом равенством

y_o = y_o'. (3.12)

(поскольку поперечные размеры движущегося тела не могут зависеть от скорости движения тела).

Подставив теперь равенство (3.12) в выражение (3.11), получим

Y(u) = (1 + u²/c_o²)^1/2. (3.13)

Подставляя выражение (3.13) в выражение (3.6), мы и получим закон (2.1) распространения света от движущегося источника, вытекающий из принципа полного равноправия инерциальных систем отсчета (принципа относительности)

c_u = c_o(1 + u²/c_o²)^1/2.   (3.14)

Действительно, нетрудно убедиться, что функция (3.13) обладает свойствами (3.4) и (3. 5), а равенства (2.13) и (2.14) при этом выполняются строго.

Зависимость (3.14) можно получить также и из инвариантности интервала ds².

Пусть ИСО X', Y', Z', T' движется с постоянной скоростью V в направлении положительных значений координаты X не штрихованной ИСО X, Y, Z, T. Тогда выражение для квадрата интервала в декартовых координатах со штрихами будет определяться выражением

dS² = c_o²·(dT)² - (dX')² - (dY')² - (dZ')². (3.15)

Совершим над выражением (3.15) преобразование Галилея

t = T',   x = X' + VT',   y = Y',   z = Z' . (3.16)

Обратное преобразование имеет вид

T' =  t ,    X'= x  - Vt,   Y' = y,   Z' = z . (3.17)

Взяв дифференциалы от обеих частей равенств (3.17) и подставив их в выражение (3.15), получаем

dS² = c_o² (1 - V²/c_o²) dt² + 2 V dx dt - dx² - dy² - dz². (3.18)

Чтобы избавиться в правой части выражения (3.18) от перекрестного члена dx dt, выделим в ней полный квадрат. В результате интервал (3.18) принимает вид

dS² = [c_o²/(1 - V²/c_o²)] [(1 - V²/c_o²) dt +(V/c_o²) dx]² - dx²/ (1 - V²/c_o²) - dy² - dz². (3.19)

Введем теперь новую скорость, совпадающую с трехмерной составляющей четырехмерной скорости из СТО

u = V·(1 - V²/c_o²)^-1/2,   (3.20)

а также новое время

T = t·(1 - V²/c_o²) + V·x/c_o². (3.21)

и новые координаты

X = x (1 - V²/c_o²) ^-1/2,   Y = y,   Z = z . (3.22)

Тогда выражение (3.19) для интервала в этих переменных будет иметь вид

dS² = [c_o²/(1 - V²/c_o²)] dT² - dX² - dY² - dZ². (3.23)

Чтобы интервал был инвариантным, выражение (3.23) должно иметь вид

dS² = c_u² dT² - dX² - dY² - dZ². (3.24)

Переход от выражения (3.23) к выражению (3.24) можно осуществить, введя новую скорость света

c_u = c_o (1 - V²/c_o²)^-1/2.(3.25)

Разрешив выражение (3.20) относительно скорости V, получим

V  = u (1 + u²/c_o²)^-1/2. (3.26)

Подставим теперь выражение (3.26) в формулу (3.25). Получим зависимость

c_u = c_o(1 + u²/c_o²)^1/2, (3.27)

совпадающую с формулами (3.14) или (2.1).

Дополнение
(по результатам обсуждения в научно-популярном журнале http://www.membrana.ru )

Зависимость (3.30), (3.27), (3.14) или (2.1), полученная впервые в [ [25]. Rapier P. M. An extension of Newtonian relativity to include electromagnetic phenomena // Proceedings of the IRE. - 1961. - V. 49. - P. 1691 - 1692; 1962.-v.50.-p. 229-230; Spectroscopy Letters. - 1971. - v. 4(9).-p-303-311.], дает возможность построить новую теорию пространства-времени, основанную на одном лишь принципе полного равноправия инерциальных систем отсчета. Но прежде, чем переходить к построению этой новой теории пространства-времени, необходимо убедиться в том, что все до сих пор проведенные эксперименты по проверке второго постулата Эйнштейна не противоречат существованию в реальной действительности зависимости (3.30).

Переход:.....Назад.....Содержание.....Вперед