Одним из возражений против новой теории относительности (НТО) выдвигается возражение, что при отсутствии зависимости массы частицы от скорости ее поступательного движения, что является одним из следствий НТО, невозможно объяснить наблюдаемое в экспериментах значение угла разлета частиц, меньшее 90 градусов, при так называемом "упругом" столкновении частиц. При этом под "упругим столкновением" двух частиц ранее понималось такое столкновение, при котором не меняются внутренние состояния частиц (см.Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц "Теория поля", М., Наука, 1862, стр. 48 параграф 13. "Упругие столкновения частиц").

Рассмотрим поэтому согласно НТО столкновение двух частиц А и В с одинаковыми массами покоя m₀ в лабораторной системе отсчета S (рис. 9.1).

Рис. 9.1. Столкновение двух частиц
(до столкновения p_A = m₀u_A, p_B=0, после столкновения p_A' = m₀u_A', p_B' = m₀u_B').

Пусть до столкновения одна из частиц (частица В) покоится в точке О (импульс этой частицы равен нулю), а другая частица (частица А) имеет постоянную скорость u_A и импульс p_A = m₀ u_A, показанный на Рис. 1. После столкновения в точке О частицы по отношению к системе отсчета S будут двигаться со скоростями u_A' и u_B', имея показанные на Рис. 1 импульсы p_A' = m₀ u_A' и p_B' = m₀ u_B'.

Выберем декартову систему координат таким образом, чтобы оси Оx и Оy лежали в плоскостях импульсов p_A и p_A', а направление оси Оx совпадало с направлением импульса p_A'. Из закона сохранения импульса следует, что импульс p_B' тоже должен лежать в плоскости xОy.

Обозначим через j и q углы, которые образуют направления векторов импульсов p_A и p_B' с осью Оx. Тогда угол q будет равняться углу между траекториями двух частиц после столкновения частиц.

p_A cos j = p_A' + p_B' cos q,  (9.60)

2 p_A' p_B' cos q = p_A² - (p_A' ² + p_B' ²) (9.62)

cos q = [p_A² - (p_A' ² + p_B' ²)]/(2 p_A' p_B') (9.63)

Если частицы после столкновения разлетаются так, что между их траекториями образуется некоторый угол q , то, значит, линия вектора скорости движущейся частицы и, соответственно, линия вектора ее импульса не проходят через центр масс неподвижной частицы, а между этим центром масс покоящейся до удара частицы и линией вектора скорости движущейся частицы имеется некоторое расстояние d - параметр удара (см. рис. 2).

Частица А имеет красный цвет, частица В - синий цвет. В момент удара частицы имеют общую точку соприкосновения N. В этой точке N на частицы действуют силы. Со стороны частицы А на частицу В действует Сила F_A, а со стороны частицы В на частицу А действует сила F_B. Эти силы параллельны вектору скорости движущейся частицы u_A и равны друг другу по величине (действие равно противодействию по третьему закону Ньютона).

Каждую из этих сил можно разложить на две составляющие: первая составляющая проходит через центра масс частицы, а вторая проходит через точку N касания двух частиц, перпендикулярна первой составляющей и направлена по касательной к сферической поверхности частицы (если частицу считать сферой с радиусом r₀).

Первая составляющая силы, проходящая через центр масс частицы, приводит к ускорению всей частицы в направлении своего действия, а вторая составляющая силы, тангенциальная к ее сферической поверхности, приводит к возникновению вращения частицы вокруг ее центра масс. В результате такого взаимодействия при ударе частиц они разлетаются в разные стороны и, кроме того, частицы начинают вращаться вокруг своего центра масс. Энергия вращения частицы вокруг своего центра масс, естественно, отбирается из энергии поступательного движения частиц.

E² = m₀² c₀⁴ +p²c₀², (9.64)

где p = m₀ u - импульс частицы согласно НТО, m₀ - масса покоя частицы.

Записываем сумму квадратов суммарной полной энергии двух частиц в системе отсчета S (одна из них покоится, а вторая движется со скоростью u_A) до (before) столкновения

E_sb² = 2 m₀² c₀⁴ + p_A² c₀². (9.65)

Записываем квадрат суммарной полной энергии двух частиц после (after) столкновения (одна движется со скоростью u_A', другая движется со скоростью u_B', обе имеют одинаковые массы покоя m₀)

E_sa² = 2 m₀² c₀⁴ + p_A' ² c₀² + p_B' ² c₀² + W_rot' ², (9.66)

где E_sa - энергия суммарная полная после (after) столкновения,

W_rot - энергия суммарная вращения частиц после столкновения (если рассматривать макроскопические частицы и учитывать нагрев, то он тоже сюда входит),

p_A' = m₀ u_A' - импульс первой частицы по НТО после столкновения,

p_B' = m₀ u_B' - импульс второй частицы по НТО после столкновения,

m₀ - масса покоя каждой из частиц.

p_A² с₀² = p_A' ² с₀² + p_B' ² с₀² + W_rot' ². (9.67)

В формуле (9.67) делим обе части на с₀² и получаем

p_A² = p_A' ² + p_B' ² + W_rot' ²/ с₀². (9.68)

p_A² - (p_A' ² + p_B' ²) = W_rot' ²/ с₀². (9.69)

cos q = [W_rot' ²/ с₀²]/(2 p_A' p_B'). (9.70)

По формуле (9.70) угол q равен 90 градусам только в том случае, если cosq =0.

Но числитель правой части формулы (9.70) равен квадрату кинетической энергии вращения частиц после столкновения деленному на квадрат скорости света с₀ (смотри формулу (9.70)), то есть он (числитель) не равен нулю, а есть положительное число.

А если числитель дроби в правой части формулы (9.70) не равен нулю, то угол q при рассматриваемом ударе меньше 90 градусов, как и в случае специальной теории относительности, согласно которой масса частицы зависит от скорости поступательного движения частицы.

Итак, мы рассмотрели столкновение двух частиц в НТО (при отсутствии зависимости массы частицы от скорости ее поступательного движения) и получили, что при отсутствии зависимости массы частицы от скорости ее движения угол разлета частиц оказывается меньшим 90 градусов.

Теперь вернемся снова к Рис. 1. Рассматривая столкновение двух частиц А и В, мы неявно предполагали, что частица А, движущаяся со скоростью u_A, а также покоящаяся в точке О частица В не вращаются вокруг центров их масс.

А что будет, если одна из этих частиц, или обе, вращаются вокруг центров своих масс? Зависит ли масса покоя частицы m₀ от того, вращается ли она вокруг своего центра масс или нет? Полная энергия частицы, конечно же, будет включать и энергию вращения частицы вокруг центра масс. Но вот увеличивается ли масса покоя частицы?

Из рис. 9.1 и 9.2 следует, что оси собственного вращения частиц вокруг центра масс каждой из них перпендикулярны плоскости xOy на рис. 1, то есть оси вращения перпендикулярны плоскости чертежа, причем после столкновения обе частицы вращаются против часовой стрелки (это если до столкновения частицы не вращались). А какова будет ориентация осей вращения частиц после столкновения в том случае, когда до столкновения частицы вращались и оси их вращения имели произвольные направления в пространстве?

Условия разлета частиц после удара под углом, большим 90 градусов

Предположим, что налетающая частица А до столкновения с частицей В уже имеет энергию вращения W_rot, а покоящаяся в точке О частица В не вращается вокруг своей оси. Тогда сумма квадратов суммарной полной энергии двух частиц в системе отсчета S (одна из частиц  покоится, а вторая движется со скоростью u_A и вращается вокруг своего центра масс, имея кинетическую энергию вращения W_rot) до (before) столкновения будет равна

E_sb² = 2 m₀² c₀⁴ + p_A² c₀² + W_rot². (9.71)

Квадрат же суммарной полной энергии двух частиц после (after) столкновения (одна частица движется со скоростью u_A', другая движется со скоростью u_B', обе имеют одинаковые массы покоя m₀) по-прежнему определяется формулой (9.66)

E_sa² = 2 m₀² c₀⁴ + p_A' ² c₀² + p_B' ² c₀² + W_rot' ², (9.66)

где по-прежнему W_rot' - суммарная энергия вращения двух частиц после столкновения.

Тогда из закона сохранения энергии, применяемого к формулам (9.66) и (9.71), получим

p_A² - (p_A' ² + p_B' ²) = (W_rot' ² - W_rot²) / с₀². (9.72)

Подставляя формулу (9.72) в формулу (9.63), получим

cos q = [(W_rot' ² - W_rot²)/ с₀²]/(2 p_A' p_B'). (9.73)

Из формулы же (9.73) следует, что если W_rot > W_rot', то есть если суммарная энергия вращения обеих частиц до столкновения БОЛЬШЕ суммарной энергии вращения обеих частиц после столкновения, то правая часть формулы (9.73) будет отрицательной. А это означает, что угол q в этом случае будет БОЛЬШЕ 90 градусов.