Переход:.....Назад.....Содержание.....Вперед

7. ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ НОВЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ КООРДИНАТ И ВРЕМЕНИ

7.1. Сокращение продольных размеров движущихся тел

Существует два способа измерения длины движущегося тела из той "покоящейся" инерциальной системы отсчета, относительно которой это тело движется.

При первом способе необходимо отметить положения концов движущегося тела в один и тот же момент времени по хронометрам той "покоящейся" инерциальной системы отсчета, относительно которой это тело движется, а затем измерить расстояние между полученными отметками масштабом, неподвижным в "покоящейся" инерциальной системе отсчета.

При втором способе необходимо измерить скорость движущегося тела относительно "покоящейся" инерциальной системы отсчета, затем измерить продолжительность промежутка времени между моментами нахождения в одной и той же точке "покоящейся" системы переднего и заднего концов движущегося тела и рассчитать длину движущегося тела, умножив измеренную величину скорости тела на величину измеренного промежутка времени.

Для определения длины движущегося тела рассмотрим те же две инерциальные системы отсчета А и B, о которых шла речь в разделе 3. Пусть в инерциальной системе отсчета B, относительно которой рассматриваемое тело покоится, координаты концов этого тела равны x1' = 0 и x2' = Lo , где Lo - собственная длина тела (длина тела в той инерциальной системе отсчета, относительно которой это тело покоится).

Для нахождения длины этого движущегося тела первым способом воспользуемся вторым уравнением преобразований (6.9) (поскольку тело покоится в инерциальной системе отсчета B). При движении этого тела вместе с системой отсчета B относительно системы отсчета А координаты концов этого тела в системе отсчета А определяются по формулам

x1 = x1'/Г + u t1, (7.1)

x2 = x2'/Г + u t2,   (7.2)

где t1, t2 - моменты времени по хронометрам системы отсчета А, в которые отмечаются положения переднего и заднего концов тела. Вычитая почленно из выражения (7.2) выражение (7.1), получим

x2 - x1 = (x2' - x1')/Г + u (t2 - t1). (7.3)

Величина (x2 - x1) в левой части выражения (7.3) будет длиной L движущегося тела в инерциальной системе отсчета А только при условии, если в правой части

(t2 - t1) = 0, (7.4)

т. е. если положения обоих концов движущегося тела в инерциальной системе отсчета А отмечаются в один и тот же момент времени по хронометрам системы отсчета А. Вследствие этого получим

L = Lo = Lo(1 + u2/co2) -1/2. (7.5)

Для нахождения длины движущегося тела вторым способом определим, в какие моменты времени системы отсчета А точки x1' = 0 и x2' = Lo системы отсчета B совпадают с началом координат системы отсчета А.

Начала координат инерциальных систем отсчета А и B совпадают друг с другом в момент начала отсчета времени в обеих инерциальных системах отсчета. Это означает, что точка x1' = 0 совпадает с точкой x1 = 0 в момент времени t1 = 0. Подставляя в выражение (7.2) (поскольку тело покоится в системе отсчета B мы обязаны использовать преобразования (6.9), из которых получено выражение (7.2)) x2 = 0, x2' = Lo, получим, что точка x2' = Lo совпадает с началом координат системы отсчета А в момент времени (по хронометрам, покоящимся в системе отсчета А)

t2 = -Lo/(u Г). (7.6)

Следовательно, между моментами нахождения точек x1' = 0, и  x2' = Lo системы отсчета B в начале координат системы отсчета А пройдет промежуток времени

t2 - t1 = Lo/(u Г). (7.7)

Умножая промежуток времени (7.7) на скорость u движения тела относительно системы А, получим длину движущегося тела в системе А, измеренную вторым способом

L = u (t1 - t2) = Lo/ Г= Lo(1 + u2/co2) -1/2. (7.8)

Сравнивая между собой выражения (7.5) и (7.8), видим, что при обоих способах измерения длина движущегося тела согласно новой теории пространства-времени оказывается одинаковой и меньшей собственной длины тела.

Если провести аналогичные рассуждения с преобразованиями Лоренца из специальной теории относительности, получим, что при обоих способах [[53]. Угаров В. А. Специальная теория относительности. - М.: Наука, 1977. - с. 70.]

L = Lo(1 - V2/co2)1/2. (7.9)

Сравнивая выражение (7.9) с выражением (7.8), можно отметить, что как в специальной теории относительности, так и в новой теории пространства-времени при увеличении скорости движения тела длина движущегося тела в той инерциальной системе отсчета, относительно которой это тело движется, уменьшается, т. е. характер зависимости длины движущегося тела от скорости движения тела в новой теории пространства-времени качественно совпадает с характером аналогичной зависимости в специальной теории относительности. Отличия носят только количественный характер.

Здесь уместно пояснить, почему в преобразованиях Лоренца (6.13) и (6.14) из специальной теории относительности мы обозначили скорость движения одной инерциальной системы отсчета относительно другой буквой "V", а в новых преобразованиях координат и времени для обозначения скорости движения одной инерциальной системы отсчета относительно другой мы использовали букву "u".

Дело в том, что как входящий в преобразования Лоренца параметр

b = V/co,   (7.10)

так и входящий в новые преобразования параметр

b = u/cu  (7.11)

изменяются в пределах от нуля до единицы. Это позволяет предположить, что это один и тот же параметр. Для обозначения этого параметра мы и использовали одну и ту же букву b в обеих теориях пространства-времени.

Тогда, приравняв правые части выражений (7.10) и (7.11), получим

V = u (1 + u2/co2) -1/2. (7.12)

Разрешая выражение (7.12) относительно u, получим

u = V (1 - V2/co2) -1/2. (7.13)

При этом в выражениях (7.12) и (7.13): u - это скорость движения одной инерциальной системы отсчета относительно другой в новой теории; V - это скорость движения одной инерциальной системы отсчета относительно другой в специальной теории относительности.

Из выражений (7.12) и (7.13) следует, что область допустимых значений "скорости V" лежит в пределах от нуля до co, а область допустимых значений "скорости u" лежит в пределах от нуля до бесконечности. Из этого можно сделать вывод, что либо "скорость u" из новой теории пространства-времени, либо "скорость V" из специальной теории относительности не является физически измеримой скоростью движения. Ряд соображений свидетельствует в пользу того, что физически измеримой скоростью движения одной инерциальной системы отсчета относительно другой является не "скорость V", а именно "скорость u" новой теории пространства-времени. Нетрудно заметить, что выражения (7.12) и (7.13) можно также получить, если приравнять друг другу правые части формул (7.8) и (7.9).

7.2. Исчезновение парадоксов времени

Согласно специальной теории относительности движущийся хронометр идет медленнее чем неподвижный. Эффект замедления хода движущегося хронометра, приводящий к известным парадоксам времени специальной теории относительности (парадоксу часов, парадоксу близнецов) можно объяснить следующим образом. Рассмотрим хронометр следующей конструкции. Между двумя параллельными неподвижными друг относительно друга зеркалами, разнесенными на расстояние Do, движется световой импульс, попеременно отражаясь от каждого из зеркал. На одном из зеркал установлен фотоэлемент, а не другом - лазерный услилитель, так чтобы жти часы могли работать бесконечно долго. К выходу фотоэлемента подсоединен счетчик импульсов. При отражении света от зеркала с фотоэлементом часть света падает на фотоэлемент и на выходе фотоэлемента образуется электрический импульс. Счетчик, подсчитывающий количество импульсов с выхода фотоэлемента, подсчитывает тем самым количество временных промежутков, за каждый из которых свет дважды проходит расстояние между зеркалами (от зеркала с фотоэлементом до другого зеркала и обратно). Покоящиеся в системе B хронометры такой конструкции будем называть B-хронометрами, а покоящиеся в системе А хронометры точно такой же конструкции будем называть А-хронометрами. В инерциальной системе отсчета B промежуток времени между двумя соседними импульсами на выходе фотоэлемента B-хронометра будет равен

DBB = 2 Do/co . (7.14)

В инерциальной системе отсчета А промежуток времени между двумя соседними импульсами на выходе фотоэлемента А-хронометра будет равен

DAA = 2 Do/co .  (7.15)

015.gif (3581 bytes)

Рис. 7.1. Взаимное расположение зеркал В-хронометра и осей координат системы отсчета А

Если плоскости зеркал B-хронометра перпендикулярны оси Х системы отсчета А (см. рис. 7.1), то согласно специальной теории относительности в инерциальной системе отсчета А (относительно которой B-хронометр движется со скоростью u вдоль оси Х) расстояние между зеркалами B-хронометра будет равно

D1СТО = Do(1 - u2/co2)1/2.  (7.16)

Вследствие этого промежуток времени между двумя соседними импульсами на выходе фотоэлемента B-хронометра по А-хронометрам будет согласно специальной теории относительности равен

DBAСТО = D1СТО/(co - u) + D1СТО / (co + u) = 2 Do/[ co (1 - u2/co2)1/2]. (7.17)

Пусть, например, этот B-хронометр в инерциальной системе отсчета А перемещается из пункта М в пункт Н за время

DtA= LA/u , (7.18)

где LA - расстояние между пунктами М и Н, измеренное масштабом, покоящимся в системе отсчета А; DtA- время движения B-хронометра из пункта М в пункт Н по А-хронометрам, покоящимся в пунктах М и Н и синхронизированным друг с другом эйнштейновским способом световыми сигналами от источника, покоящегося в системе отсчета А.

Тогда покоящийся в системе отсчета А наблюдатель, который измерил расстояние LA и скорость u движения B-хронометра, вычислит, что за время движения B-хронометра из пункта М в другой пункт Н покоящиеся А-хронометры системы отсчета А насчитают количество импульсов, равное

n1 = DtA / DAA= LAco/(2 u Do). (7.19).

Этот же покоящийся в системе А наблюдатель, для которого промежуток времени между двумя соседними импульсами на выходе фотоэлемента B-хронометра определяется выражением (7.17), может вычислить, что за время движения B-хронометра из пункта М в пункт Н этот B-хронометр насчитает количество импульсов, равное

n2 = DtA / DBAСТО = n1(1 - u2/co2)1/2 < n1. (7.20)

И именно на основании расчетов по формуле (7.20) этот наблюдатель, покоящийся в системе отсчета А, сделает вывод, что согласно специальной теории относительности движущийся B-хронометр отстает от неподвижных (относительно наблюдателя, покоящегося в системе отсчета А) А-хронометров.

В формулах (7.16), (7.17) и (7.20) под релятивистским корнем мы записали истинную скорость u движения B-хронометра потому, что именно со скоростью u  B-хронометр движется относительно системы отсчета А.

Итак, из выражения (7.20) следует, что согласно специальной теории относительности если в пунктах М и Н находятся синхронизированные друг с другом А-хронометры и если B-хронометр, движущийся из пункта М в пункт Н с постоянной скоростью u, имел в пункте М показания, совпадающие с показаниями А-хронометра из пункта М, то за время движения B-хронометра из пункта М в пункт Н показания А-хронометров изменятся на число n1, а показание B-хронометра изменится на число n2 < n1. То есть, согласно специальной теории относительности если даже B-хронометр был в точке М синхронным с А-хронометром, покоящимся в пункте М, то этот B-хронометр по прибытии в пункт Н уже не будет синхронным с А-хронометром, покоящимся в пункте Н, а будет отставать от А-хронометра пункта Н. Именно в этом смысле и говорят, что согласно специальной теории относительности движущийся хронометр идет медленнее неподвижных хронометров.

Рассмотрим теперь эту же ситуацию в том случае, если в природе существует зависимость скорости света от скорости источника вида (2.1). В этом случае расстояние между зеркалами B-хронометра (равное Do в инерциальной системе отсчета B) в инерциальной системе отсчета А будет равно (см. формулы (7.5) и (7.8))

D2 = Do(1 + u2/co2)-1/2. (7.21)

А согласно новой теории пространства-времени промежуток времени между двумя соседними импульсами на выходе фотоэлемента B-хронометра по А-хронометрам системы А будет равен

DBA = D2/(cu - u) + D2/(cu + u) = 2 Do/co. (7.22)

Тогда покоящийся в системе отсчета А наблюдатель, который измерил расстояние LA и скорость u движения B-хронометра, вычислит, что за время движения B-хронометра из пункта М в пункт Н этот B-хронометр насчитает количество импульсов, равное

n3 = DtA / DBA = n1.  (7.23)

Это означает, что в соответствии с теорией пространства-времени, вытекающей из зависимости (2.1), движущийся B-хронометр насчитает за время своего движения из пункта М в пункт Н точно такое же количество импульсов, какое насчитает за это же время синхронизированные друг с другом А-хронометры, покоящиеся в пунктах М и Н.

Таким образом, согласно теории пространства-времени, вытекающей из зависимости (2.1), движущийся хронометр "идет" точно с такой же скоростью, что и неподвижные хронометры. Поэтому в новой теории пространства-времени никаких парадоксов времени не возникает. Впрочем, отсутствие "замедления времени" в движущихся инерциальных системах отсчета по сравнению со "скоростью течения времени" в неподвижной инерциальной системе отсчета вытекает непосредственно из принципа полного равноправия инерциальных систем отсчета. Вспомним, ведь саму зависимость (2.1) мы получили в разделе 2 только благодаря тому, что из принципа полного равноправия инерциальных систем отсчета (принципа относительности) нам удалось получить утверждение: “Законы, по которым изменяются показания хронометра, не зависят от того, к которой из двух координатных систем, движущихся относительно друг друга равномерно и прямолинейно, эти изменения показаний относятся”.

Переход:.....Назад.....Содержание.....Вперед