8.3. Теория Максвелла в вакууме в новой релятивистской форме

Система уравнений Максвелла (8.1) может быть записана не только через векторы электромагнитного поля , но также и через скалярный и векторный потенциалы и . Все переменные, относящиеся к инерциальной системе отсчета B, мы по-прежнему обозначаем со штрихами, а все переменные, относящиеся к системе отсчета А, - без штрихов. В такой однородной изотропной среде как вакуум для этих потенциалов поля, источник которого покоится в инерциальной системе отсчета B, справедливы соотношения (см. стр. 174 в [[53]. Угаров В. А. Специальная теория относительности. - М.: Наука, 1977. - с. 70.])

.(8.54)
.(8.55)
.(8.56)
.(8.57)
.(8.58)
.(8.59)

где

.(8.60)
.(8.61)
. (8.62)

Введем в рассмотрение вектор 4-потенциала и вектор 4-плотности тока

.(8.63)

.(8.64)

С учетом обозначений (8.63) и (8.64) уравнения (8.56) и (8.57) можно записать в виде одной формулы

(8.65)

Действительно, при k = 1, 2, 3 уравнение (8.65) совпадает с уравнениями для трех составляющих векторов в уравнении (8.56), а при k = 4 получим

.(8.66)

но и мы получаем уравнение (8.57).

С учетом обозначений (8.63) и (8.64) условие Лоренца (8.58) и уравнение непрерывности (8.59) можно записать в виде

..(8.58а)

...(8.59а)

Запишем теперь в этой же инерциальной системе отсчета B выражения (8.54) и (8.55) с использованием обозначений (8.63) и (8.64) [[67]. Фейнман Р. и др. Фейнмановские лекции по физике, вып. 6. Электродинамика. / Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Пер. с англ. Под ред. Я. А. Смородинского. - М.: Мир, 1977, с. 271 - 272.]

..(8.67)
.(8.68)
.(8.69)
.(8.70)
.(8.71)
.(8.72)

Каждое из соотношений (8.67) - (8.72) можно представить в виде (см. стр. 180-181 в [ [53]. Угаров В. А. Специальная теория относительности. - М.: Наука, 1977. - с. 70.])

.(8.73)

где

..(8.74)

В разделе 8 мы до сих пор не произвели никаких изменений по сравнению с 4-мерной формулировкой электродинамики в СТО (кроме изменения обозначения константы С на c_o). Это обусловлено тем, что мы до сих пор рассматривали электромагнитное поле в инерциальной системе отсчета B, порождаемое источником, покоящимся в этой же системе отсчета B. Но как только мы записали 4-тензор электромагнитного поля в системе отсчета B, мы можем воспользоваться общими формулами преобразования составляющих 4-тензора [[67]. Фейнман Р. и др. Фейнмановские лекции по физике, вып. 6. Электродинамика. / Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Пер. с англ. Под ред. Я. А. Смородинского. - М.: Мир, 1977, с. 271 - 272]

..(8.75)

где по повторяющимся индексам производится суммирование и

..(8.76)

-  составляющие матрицы новых преобразований координат и времени события от инерциальной системы отсчета B, в которой покоится источник электромагнитного поля, к инерциальной системе отсчета А, относительно которой система отсчета B движется со скоростью u в положительном направлении оси Х (см. формулу (9.54))

.(8.77)

.(8.78)

Подставляя значения (8.76) в выражение (8.75), получим

.(8.79)
.(8.80)
.(8.81)
.(8.82)
..(8.83)
.(8.84)
.(8.85)
.(8.86)
..(8.87)
.(8.88)
.(8.89)
.(8.90)
.(8.91)
.(8.92)

Подставляя в выражения (8.79)...(8.92) значения (8.74) и (8.78), получим выражения (8.6) и (8.7).

Тензоры (8.74) и (8.78) выражаются через векторы и электромагнитного поля. Для описания электромагнитного поля в веществе используются также векторы , связанные между собой в инерциальной системе отсчета B соотношениями (см. стр. 183 в [ [53]. Угаров В. А. Специальная теория относительности. - М.: Наука, 1977. - с. 70.])

...(8.93)

..(8.94)

где - вектор электрической индукции в системе отсчета B; - вектор напряженности магнитного поля в системе отсчета B; - вектор электрической поляризации в системе отсчета B; - вектор намагничения в системе отсчета B, причем для вакуума

Для 4-тензора электромагнитного поля, выраженного через векторы , будем использовать обозначения:

а) в инерциальной системе отсчета B

.(8.95)

б) в инерциальной системе отсчета А

.(8.96)

Преобразование составляющих 4-тензора (8.95) от системы отсчета B к системе отсчета А производится по формулам [[67]. Фейнман Р. и др. Фейнмановские лекции по физике, вып. 6. Электродинамика. / Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Пер. с англ. Под ред. Я. А. Смородинского. - М.: Мир, 1977, с. 271 - 272.]

.(8.97)

т. е. по формулам, аналогичным (8.79) ... (8.92).

При преобразованиях (8.97) с помощью (8.95) и (8.96) получим выражения (8.5) и (8.8).

Воспользуемся теперь общими формулами преобразования 4-векторов (см. формулу (9.55))

..(8.98)

В соответствии с этими преобразованиями по известным значениям 4-вектора тока (8.64) в системе отсчета B получим значения 4-вектора тока в системе отсчета А

,.(8.99)

где

.(8.100)

Подставляя значения (8.100) в формулы (8.99), получим выражения (8.9), (8.10), (8.11), (8.12).