Переход:.....Назад.....Содержание.....Вперед

ПРИЛОЖЕНИЕ 3. ВЫВОД ФОРМУЛ ПЕРЕСЧЕТА ПАРАМЕТРОВ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ ИЗ ОДНОЙ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА В ДРУГУЮ ПРИ НЕИНВАРИАНТНОЙ СКОРОСТИ СВЕТА

Будем обозначать декартовые координаты события и время события в одной инерциальной системе отсчета (ИСО) символами x, y, z, t, а в другой ИСО символами x', y', z', t'. Пусть штрихованная ИСО движется в направлении возрастающих значений координаты х не штрихованной ИСО с постоянной скоростью u, оси х и x' обеих ИСО совпадают друг с другом, а другие оси параллельны друг другу.

Тогда, если событие происходит с объектом, покоящимся в штрихованной ИСО, преобразования координат и времени события в новой теории пространства-времени имеют вид

(П3.1)
(П3.2)

где   а если событие происходит с объектом, покоящимся в не штрихованной ИСО, преобразования его координат и времени в новой теории пространства-времени имеют вид

(П3.3)
(П3.4)

Пусть источник электромагнитного поля покоится в штрихованной ИСО. Тогда в этой ИСО в вакууме справедливы уравнения Максвелла-Лоренца

(П3.5)
(П3.6)
(П3.7)
(П3.8)

где - векторы напряженности магнитного и электрического полей, соответственно; - векторы индукции соответственно магнитного и электрического полей; - вектор плотности тока и плотность заряда соответственно, причем

(П3.9)

Найдем уравнения электромагнитного поля в не штрихованной ИСО. Для этого применим к уравнениям Максвелла-Лоренца (П3.5) - (П3.8) преобразования (П3.1) - (П3.2) (поскольку источник поля покоится в штрихованной ИСО).

В проекциях на координатные оси уравнения (П3.5) - (П3.8) имеют вид

(П3.10)
(П3.11)
(П3.12)
(П3.13)
(П3.14)
(П3.15)
(П31.16)
071.gif (1277 bytes) (П3.17)

Чтобы решить поставленную задачу, нам необходимо заменить частные производные по штрихованным координатам и времени частными производными по не штрихованным координатам и времени, используя известные выражения для частных производных от сложной функции

(П3.18)
(П3.19)
(П3.20)

определив входящие в выражения (П3.18) и (П3.19) частные производные из преобразований (П3.1) - (П3.2).

Примечание: Формулы (П3.18) и (П3.19) получены по формуле (4.5-10) со стр. 110 книги Г. Корн, Т. Корн "Справочник по математике для научных работников и инженеров", М., Наука, 1973 (раздел 4.5.4. Правила   дифференцирования). Копию этой страницы этого справочника с моим комментарием можно скачать отсюда korn-110.pdf (26 кбайт).

Получим

(П3.21)
(П3.22)

С учетом формул (П3.20) - (П3.22) уравнение (П3.10) приобретает вид

(П3.23)

а уравнение (П3.13) - вид

(П3.24)

Исключаем из уравнения (П3.23) D'x' / x. Для этого из уравнения (П3.24) находим

и подставляем в уравнение (П3.23), получим

082.gif (1786 bytes) (П3.25)

Исключаем из уравнения (П3.24) D'x ' / t.. Для этого из уравнения (П3.23) находим

и подставляем в уравнение (П3.24). Получим

084a.gif (1798 bytes) (П3.26)

С учетом формул (П3.20) - (П3.22) уравнение (П3.11) приобретает вид

085a.gif (1624 bytes) (П3.27)

а уравнение (П3.12) - вид

086a.gif (1599 bytes) (П3.28)

С учетом уравнений (П3.20) - (П3.22) уравнение (П3.14) приобретает вид

(П3.29)

а уравнение (П3.17) - вид

(П3.30)

Исключаем из уравнения (П3.29) Bx/x. Для этого из (П3.30) находим

и подставляем в уравнение (П3.29). Получим

092a.gif (1611 bytes) (П3.31)

Исключаем из уравнения (П3.30) B'x' /t. Для этого из (П3.29) находим

и подставляем в уравнение (П3.30). Получим

094a.gif (1581 bytes) (П3.32)

С учетом формул (П3.20) - (П3.22) уравнение (П3.15) приобретает вид

095a.gif (1536 bytes)3.33)

а уравнение (П3.16) - вид

096a.gif (1541 bytes) (П3.34)

Итак, вместо формул (П3.10) - (П3.17) в штрихованной ИСО мы получили соответствующие формулы в не штрихованной ИСО

098a.gif (1771 bytes) (П3.35)
099a.gif (1632 bytes) (П3.36)
100a.gif (1598 bytes) (П3.37)
101a.gif (1745 bytes) (П3.38)
248a.gif (1554 bytes) (П3.39)
249a.gif (1533 bytes) (П3.40)
250a.gif (1564 bytes) (П3.41)
251a.gif (1567 bytes) (П3.42)

Введем в формулах (П3.35) - (П3.42) обозначения

сuDx = сoD'x' ,     сuDy=goD'y' + b H'z),     сuDz=goD'z' - b H'y' );
Ex = E'x' ,     Ey =
g (E'y' + b сo B'z' ) ,     Ez = g (E'z' - b сoB'y' );

сuBx = сoB'x' ,     сuBy=goB'y' - b E'z' ),      сuBz=goB'z' + b E'y' );.(П3.43)

Hx = H'x' ,     Hy = g (H'y' - b сoD'z' ),       Hz = g (H'z' + b сoD'y' );
jx =
g (j'x' + b сo r ' ),      jy = j'y' ,      jz = j'z' ,       сur = go r ' + b j'x' ),

где g = (1 - b 2)- 0.5; b = u/сu ; сu = сo (1 + u2o2)0,5 .

Тогда формулы (П3.35) - (П3.42) принимают вид

(П3.44)
(П3.45)
(П3.46)
(П3.47)
(П3.48)
(П3.49)
(П3.50)
(П3.51)

Формулы (П3.44) - (П3.51) можно записать в виде

.............
(П3.52)
.............
..............

Таким образом, уравнения Максвелла-Лоренца инвариантны относительно новых преобразований координат и времени.

Переход:.....Назад.....Содержание.....Вперед